Boolean algebra (불 대수, 부울 대수)

1. Boolean algebra는?

영국의 수학자 조지 불(George Boole)이 18세기 중엽에 창안한 대수의 한 형식. 컴퓨터 동작의 기초가 된다. 불 대수는 x나 y의 수치적 상관관계를 다루지 않고 논리적 상관관계를 다루는데, 이것은 연산의 종류와 변수들이 참인가 거짓인가에 따라서 논리적 명제들이 참 아니면 거짓이라는 논리에 바탕을 두고 있다. 불 대수의 2가지 중요한 측면은 ㉠변수들을 참 또는 거짓의 단지 두 값 중의 하나로 한정할 수 있고, ㉡이들 변수 간의 상관관계를 논리곱(AND), 논리합(OR), 부정(NOT) 등의 연산자로 논리적으로 나타낼 수 있다는 것이다. 불 대수의 이 2가지 측면은 디지털 계산에 사용되는 전자 회로에 응용될 수 있으므로 정보를 처리하고 문제를 해결하는 데 사용된다. 예를 들면, 참과 거짓은 전압의 유무에 의해 쉽게 컴퓨터 고유 언어의 2진수 1(참)과 0(거짓)으로 나타낼 수 있다. 또한 불 논리는 ‘만일 A가 참이고 B가 참이면 결과는 언제나 참이다.’를 의미하는 ‘A AND B＝true’와 같은 명제에 바탕을 두고 있다. 이러한 논리는 컴퓨터 회로에 논리 게이트 로 설계해 놓을 수 있다. 논리 게이트는 비트 1과 비트 0이 불 논리에 일치하는 결과(출력)를 생성하도록 전기의 흐름을 제어한다. 하나의 컴퓨터 내에 AND, OR, NOT이나 기타 불 연산자를 나타내는 논리 게이트를 결합할 수 있으며, 하나의 논리 게이트 출력이 다른 논리 게이트 입력으로 투입되어 최종 결과가 두 수의 합과 같은 의미 있는 데이터가 되도록 할 수 있다.

2. Boolean algebra 기본 공식

1]

1) X + 0 = X 2) X * 1 = X
3) X + 1 = 1 4) X * 0 = 0
5) X + X = X 6) X * X = X
7) X + X(bar) = 1
8) X * X(bar) = 0
9) X(bar*2) = X

2]

◎ 교환 법칙
⑩ X + Y = Y + X
⑪ X Y = Y X

◎ 결합 법칙
⑫ X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z
⑬ X ( Y Z ) = ( X Y ) Z

◎ 분배 법칙
⑭ X ( Y + Z ) = X Y + X Z
⑮ X + Y Z = ( X + Y )( X + Z )

3. Boolean algebra 에서 변수들의 상관관계를 표현하는 방법인 논리 게이트

1.OR Gate
 1+1 = 1

입력		출력
A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

논리식 : A+B

2.AND Gate
 
1*1=1,1*0=0

입력		출력
A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

논리식 : A*B

3.NOT Gate
낫게이트. 즉 부정게이트 컴퓨터는 참을 0이 아닌 모든수. 거짓을 0. 게이트를 통과하게 되면 값이 1은 0으로 0은 1로 반전

입력	출력
A	Y
0	1
1	0

논리식 :  A(bar)

4.NAND Gate
AND+NOT.

입력		출력
A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

논리식 : A*B(전체 bar)

5.NOR Gate
OR+NOT.

입력		출력
A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

논리식 : A+B (전체 bar)
  
6.EX - OR Gate (배타적 논리 게이트)
서로 같지 않으면 1이 출력.

입력		출력
A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

7.EX - NOR Gate (일치 논리 회로)
서로 같으면 1출력.

입력		출력
A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1